三條奧數唔明...－gbu94mz95e的部落格

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三條奧數唔明...

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1. 在 △ABC 內, 分別垂直於三條邊 AB, BC 及 CA 的高的比是 3:4:5 . 若三條邊的長均為整數, 求 AB 的最小值. 2.某長方形的長和闊均為整數. 若面積比周界大 9 , 求周界的值. 3.甲, 乙及丙三人互相傳球. 甲首先將球傳出. 有多少不同方案使得經過5次傳球後 , 求會回傳給甲? 更新: 第3條突然想明白了只需回答第1,2題 thx

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1. 三角形面積 = (1/2)(底)(高) 設分別垂直於三條邊的高 = 3x, 4x, 5x 則面積 = (1/2)AB(3x) = (1/2)BC(4x) = (1/2)CA(5x) 3AB = 4BC = 5CA 3,4和5的最小公倍數(L.C.M) = 60 => AB的最小值 = 60/3 = 20 [或者 3AB = 4BC => AB : BC = 4 : 3 = 20 :15 4BC = 5CA => BC : CA = 5 : 4 = 15 : 12 AB : BC : CA = 20 : 15 : 12 則 AB的最小值 = 20] 2. 設長為x,闊為y , x < y, 當中 x 和 y 為正整數面積 = xy 周界 = 2x + 2y 所以 xy - 9 = 2x + 2y y(x - 2) = 2x + 9 y = 2 + 13/(x - 2) y = 2 + 13/(x - 2)是整數則 13/(x - 2) 是整數 [回想因數的定義: 整數n 除以整數m, 答案為無餘數的整數, 則 m 是 n的因數 => 整數除以自己的因數, 結果必為整數] 13 的因數 = -13, -1, 1, 13 則 x - 2 = -13 或 x - 2 = -1 或 x - 2 = 1 或 x - 2 = 13 x = -11 (捨去) 或 x = 1 或 x = 3 或 x = 15 => x = 1 或 x = 3 或 x = 15 代入 y = 2 + 13/(x - 2) y = 2 + 13/(1 - 2) 或 y = 2 + 13/(3 - 2) 或 y = 2 + 13/(15 - 2) y = 2 - 13 或 y = 2 + 13 或 y = 2 + 1 y = -11 (捨去) 或 y = 15 或 y = 3 (捨去, 因為設了 x < y, 雖然 x = 15, y = 3 也是可以解到的…不過為免重複計算, 所以一開頭就設了 x < y, 反正答案是一樣的) 所以 x = 3, y = 15 周界 = 2x + 2y = 2(3) + 2(15) = 36 驗算: 面積 = 3(15) = 45 面積 - 周界 = 45 - 36 = 9

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